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おしらせ

ブログにお引っ越ししました。s2sのこのページはあんまり更新しなくなると思います。

共有PDF計画とは

数学科では、有名な本は過去に何百という人によって読まれているはずなので、記録が公の場にアップロードされていて誰でもアクセス・編集できるようになっていれば便利だろうという考えに基づき、ノートとLaTeXソースを公開しています。

本について

凡例

見出しについてるローマ数字はだいたいの読む順番を表しているつもり。予備知識がたくさん要るものほどローマ数字が大きくなるようになっているはず。具体的には、ローマ数字nの本は1~n-1までの本を全部読んでいることがなんとかその本を読むことができるための十分条件になっている、はず。(必要条件とは言ってない)個別の本を読むのに必要な予備知識についてもし知りたければ、ここの記述を信用せず、僕か先輩および強い同級生等に訊くことを勧める。アルファベットは、予備知識の量がだいたい同じ異なる分野を区別するためにつけた。見出しに名前が挙がっているものは僕が多少とも読んだり参照したりしたもの。(通読したとは言ってない)

I 微積分・線形代数

斎藤正彦「微分積分学」東京図書  

高木貞治「解析概論」にいきなり挑戦して玉砕した人は多いのではないか。名著ということと、初学者向きということは全く別のことである。これはわかりやすくておもしろいので挫折しにくい。ただ重積分の変数変換公式を厳密に証明していないし、ベクトル解析の説明が雑すぎるのであくまで初学者向け。

斎藤正彦「線型代数学」東京図書

行間もなく具体的に書いてある良い本。こういう1回生の最初に読む本は、とにかく挫折しにくいことが大事だと思う。

ラング「線形代数学」ちくま学芸文庫

文庫サイズなので読みにくい。群や環が出てくるが、説明が雑なので初学者向きでない。 でもこの本を読んでいたことがのちにFulton Harrisを読むときに役に立った。外積代数などの説明がある本を読んでおくのはよいこと。

雪江明彦「線形代数学概説」

よく主張だけ見かける定理「detは平行n面体の体積」が証明されているのが特徴。

II 位相空間論

位相空間は幾何・解析・代数のどの分野でも頻繁に登場するため、位相の勉強は早めにしたほうがよい。たとえば代数では、無限群に位相をいれるとか、無限次元ベクトル空間に位相をいれるとか、無限がからむ対象に位相をいれるというような登場の仕方をする。 また、この後の複素関数論では連結性や開集合といった位相空間の概念をしょっちゅう使うことになる。

内田と、松坂和夫「集合・位相入門」が二大入門書。新しいのでは斎藤毅「集合と位相」が良書と聞く。松坂のほうは集合論の記述が充実していて、斎藤のほうは圏論的に書かれているということである。

内田伏一「集合と位相」

丁寧に書かれた良い本。

John L.Kelley「General Topology」

内田より詳しい位相の本。netによる特徴付けが載っている。

III-a 群論

有限群論は非自明な主張がバンバンでてくるのでとても楽しい。Galois理論をやるために理解しておく必要がある。

雪江明彦「代数学1 群論入門」

群論の定番教科書。初学者でも挫折しにくい。この本に限らず雪江先生の本は行間がないという特徴があり、読むと幸せになれる。well-definedの説明がしっかりしてあるのは素晴らしい。唯一、冒頭に「自然な対象とは関手を使って定義される対象である」とよくわからないことが書いてあるのには文句を言いたい。圏論を知らない人が誤解するかもしれないし、一応注意しておく。正誤表が著者のホームページにある。雪江先生の本で何かわからないところがあったら、直接メールで訊けば親切に教えてもらえる。

近藤武「群論」

初学者向きではないが、面白いことがいっぱい書いてあり、よく参照する。代数演義必携書のひとつ。

III-b 複素解析

みんな大好き複素解析。留数定理は魔法。

野口潤次朗「複素解析概論」はアールフォルスの下位互換という印象。笠原乾吉「複素解析」(ちくま学芸文庫)が良いという話を聞いた。あと読んでいる人が多いのはエリアス・スタイン&ラミ・シャカルチ「複素解析」。

チャーチル&ブラウン「複素関数入門」

初学者向けの本。話題を絞って丁寧に解説している。比較的すぐ読み通せて、複素解析の概要をつかむことができる。初めにこれを読み、そのあとより詳しい本を読むと挫折しにくい。

L.V.アールフォルス「複素解析」

分厚くてさぞ内容が多そうな見た目だが、実は位相の説明に序盤のかなりの紙数を割いているため実質的な内容はそう多くない。説明が丁寧とは言えないが、本質を突いたことが 簡潔に書かれている。解析接続のところでなにやら難しいことが書かれていて面食らったが、普通は一致の定理が理解できていれば十分であると聞いて安心した記憶がある。

IV 圏論

下の2冊以外には中岡宏行「圏論の技法」とかスティーブ・アウディ「圏論」の名前をよく聞く。「圏論の技法」を圏論を勉強する1冊目にはしない方がいい。 位相空間論と同じく、圏論もあらゆる分野で基礎となる重要な理論であり、なるべくはやく学んでおいた方がいい……と思ったのでローマ数字はかなり小さめにした。

T.レンスター「ベーシック圏論」

Tom Leinster「Basic Category Theory」の日本語訳。略してべしけん。訳者が演習問題に解答をつけてくださっているので、この本は原書より日本語訳がオススメ。現在、圏論の入門書の決定版だとおもう。どうでもいいことだが、実は98ページに望月先生の宇宙際タイヒミュラー理論について言及がある。

S.マックレーン「圏論の基礎」

この分野の古典。べしけんには無い、エンドやKan拡張の話がある。かの名言「すべての概念はKan拡張である」によって多くの数学学徒を圏論に引きずり込んだ。

Emily Riehl「Category Theory in Context」

1回生のときセミナーで使用した本。ネットにタダで落ちているので実にセミナー向き。だから結構読んだはずなのだが、内容も何も記憶にない。ひとに「どうだった?」と訊かれても、何も答えられずふがいない思いをした。セミナーはやるなら真面目にやった方がいいという教訓である。

V-a Galois理論

Galois理論というと方程式論への応用が有名だが、代数的整数論などへの応用がある。

雪江明彦「代数学2 環と体とガロア理論」

Galois理論の定番教科書。初学者の最初の一冊として良い。多項式のガロア群の決定が載っている。具体的な計算を目標にすることが多いのも雪江先生の本の特徴である。

V-b 測度論

伊藤清三「ルベーグ積分入門」

測度論を勉強するには定番の本であり、実際良い本だと思う。解析学Iの授業ではDynkin族定理という定理を使っていて大変わかりやすかったが、この本にはDynkin族定理は載っていない。吉田伸夫「ルベーグ積分入門―使うための理論と演習」に載っている。確率論系の本に載っているらしい。Lebesgue積分が存在することを最初に示しているが、退屈なら飛ばしても問題はない。後半の関数解析の話は黒田関数解析等で読んだ方がいい。

V-c 多様体論

位相空間論は空気のように使う。実解析もよく引用される。松本と並び、松島与三「多様体入門」が有名。s2sに誤植表を作ってくださった方がいるので、ぜひ参照のこと。

ちょっと変わった本として、Torsten Wedhorn「Manifolds,Sheaves,and Cohomology」では多様体論を層の言葉で展開していて、なかなかおもしろい。

Riemann面ならOtto Forster「Lectures on Riemann Surfaces」がとてもわかりやすくて良いらしい。

松本幸夫「多様体の基礎」

人呼んでライトノベル。説明は丁寧で行間もないのだが、内容が少ないので何か別の本の副読本向き。主の本を読んでいて困ったら参照するくらいに。

Loring W. Tu「An Introduction to Manifolds」

松本より叙述が簡潔で、おなじくらいの厚さなのに内容はずっと多い。松本の内容の他にLie群・Lie代数や商空間、DeRham?理論など。実解析や位相空間論の予備知識を付録にまとめてくれているのが嬉しい。良書。

V-d 初等整数論

雪江明彦「整数論1 初等整数論からp進数へ」

平方剰余の相互法則とかp進体の話。第2巻に備えてGalois理論の説明がある。

VI-a 関数解析

Fourier解析のところは複素解析の知識が必要なほか、Lebesgue積分を使わないと完備性が示せないので測度論は必須。偏微分方程式論などに応用があるらしいが、僕は詳しく知らない。

黒田成俊「関数解析」共立出版 

説明が丁寧な上に広範な話題を解説してくれる良い本。上級者向けの本と紹介されることがあるが、行間はないので初学者でも読める。ただし超関数の一般論は扱っていないので、注意が必要。

宮島静雄「関数解析」

関数空間の位相の話に詳しい。局所凸位相ベクトル空間というマニアックな空間について調べる必要があって、参照した。

VI-b 代数的整数論

雪江明彦「整数論2 代数的整数論の基礎」

Dedekind環論、分岐・不分岐と円分体論。整数環の基底決定と類数計算をみっちりやっているのが特徴だと思う。テンソル積の八面六臂の大活躍に刮目せよ。

VI-c 代数的トポロジー

田村一郎「トポロジー」を勧められることが多い。服部晶夫「位相幾何学」は通読するのがしんどいらしい。

Allen Hatcher「Algebraic Topology」

浅岡正幸先生のおすすめと聞いた。すごく分厚い。絵や例がたくさん載っている。直感的な説明をし尽くしてから理論を語るという書き方で、くどいくらいたくさん説明してくれる。基本群を語る前に、まず投げ縄の話を…という調子。正誤表が著者のホームページで手に入る。本全体も同じ著者のページからダウンロードできる。演習問題がしこたま載っているが、答えやヒントは全くない。答えが欲しい人はこのページに誰かが作った答があるのでダウンロードしておこう。ただこの本、冗長なほどイメージを語るくせして証明がザツ。おまけに用語の定義までフィーリングで書いてあるので、語によってはほかの文献ではどういう定義になっているか調べる必要がある。要はひどい本である。でも代数的トポロジーの本で例や直感的イメージの説明がこれほど多い本は稀なので、読む価値があると思う。 行間以外では、圏論的な解釈があまり書かれていないという不満がある。圏論的な話が知りたければMayの本を覗いてみるといい。

J.P.May「A Concise Course in Algebraic Topology」

ぜんぶ圏論の言葉で書いてある。行間天国だが書いてあることはおもしろい。

加藤十吉「位相幾何学」

ミツヨシと読む。ジュッキチではない。加藤毅先生のおすすめだが、僕には難しすぎた。途中で挫折。この本で理解できる人は幾何学の素養が既にある人だと思う。僕は代数トポロジーの勉強を始めたばかりのころ、良い本を探して人におすすめの本を訊いてまわったり、図書館を物色したり、できる限りのことをしたが、結局直感的イメージの詳細な説明がある本はHatcherしか見つけられなかった。Hatcherの項でさんざん悪口をいいつつも「読む価値がある」とツンデレ気味なのはそういう事情による。

VII-a 可換環論

渡部敬一&後藤四朗「可換環論」は二人の著者のチームワークがなってないという話を聞いたが、最前線まで連れて行ってくれるとても良い本らしい。

雪江明彦「代数学3 代数学のひろがり」

可換環論とホモロジー代数と表現論とそのほかいろいろの話。代数幾何や複素解析の例を引いた動機の説明が充実しているが、これも雪江先生の本の特(ry。ただ内容が足りないので、この本だけでなく松村英之「可換環論」や「Atiyah MacDonald?可換代数入門 」(いわゆるアティマク)等も読んだ方がいい。また、具体的な話が多すぎて見通しが悪い気もする。

(おわび:バカでした。修正しました。指摘してくれた人、ありがとうございます。(2018/4/18))

Hideyuki Matsumura「Commutative ring theory」

Matsumuraの可換環論の本には「Commutative algebra」とこの「Commutative ring theory」の2冊があるが、内容はほぼ同じらしいので、どちらでも良い。ring theoryの方が新しく、Hartshorneに引用されているのはalgebraの方である。

VII-b ホモロジー代数

雪江先生はHenri Cartan & Samuel Eilenberg「Homological Algebra」がオススメらしい。Joseph Rotman「An Introduction to Homological Algebra」が良いという話を最近聞いた。

M.Scott Osborne「Basic Homological Algebra」

非常に説明が丁寧で、行間が存在しない。立体的な図式が出てくるなど説明するのが面倒なところにさしかかっても今まで通りじっくり丁寧に説明してくれる姿はけだし数学書の鑑である。例が豊富とは言えないが、日本語のホモロジー代数の本はどれも行間がたくさんあるので、こういう本は貴重。

VII-c 表現論

リー群の表現論についてはAnthony W. Knapp「Lie Groups Beyond an Introduction」がとても判りやすくて良いという話を聞いた。あとBrian Hall「Lie Groups, Lie Algebras, and Representations」が雪江先生のおすすめ。

William Fulton & Joe Harris「Representation Theory A First Course」

とても分厚い。表現としてisomorphicであることの定義がはっきり書かれていないことに注意。雪江明彦先生のおすすめ。

小林俊行&大島利雄「リー群と表現論」

とても良い本という評判なので読んでみたい。関数解析の知識を前提にしている。有限群の表現論は知らなくてもたぶん問題ない。証明なしに述べられている事実を全部確認しようとしなければ、丁寧に書いてあるといえる。

J.P.Serre「Linear Representations of Finite Groups」

Fulton Harrisと違ってとても薄い。G-linear mapにあたる用語が定義されていないのがまず問題。あと、恥ずかしげも無く基底を取りたがる。内容も薄めであり、ざっと概観する程度。

VII-d 解析的整数論

雪江明彦「整数論3 解析的整数論への誘い」

ζ関数の話、素数定理など。意外にもリンデマンの定理の証明が載っている。

VIII-a 類体論

類体論はJ.P.Serre「Local Fields」か、Andre Weil「Basic Number Theory」のほぼ2択。Serge Lang「Algebraic Number Theory」は初学者向きでないという話を聞いた。足立恒雄&三宅 克哉「類体論講義」という選択肢もあるにはあるが、どうも食指が動かない。 整数論にはほかに楕円曲線論という分野もある。雪江先生にはJoseph H.Silverman「The Arithmetic of Elliptic Curves」を薦められた。いわゆるAECである。日本語の「楕円曲線論入門」は「Rational Points on Elliptic Curves」の翻訳であり、まったくの別物であることに注意。保型形式論という分野もあり、院生の人に訊くとFred Diamond&Jerry Shurman「A First Course in Modular Forms」を薦められた。p-進数については、雪江整数より詳しいものとしてFernando Quadros Gouvea「p-adic Numbers An Introduction」が良いという話を聞いた。

Dinakar Ramakrishnan&Robert J.Valenza「Fourier Analysis on Number Fields」

Weilの副読本のひとつ。Haar測度やmoduleについて参照するために読んでいる。とても丁寧に書いてあるが、著者が当たり前だと思っていることを知らないせいで僕はよく混乱する…。

Andre Weil「Basic Number Theory」

数論セミナーで使用している本。倫理の教科書に載っている哲学者シモーヌ・ヴェイユはこの人の妹だが、その昔「おにいちゃんが天才過ぎてしにたい」と心を病んだらしい、とだけ言えば雰囲気が伝わるだろうか。僕はいままで「あきらか」という文句を忌み嫌ってきたが、この本は「あきらか」とさえ言わないので、見直しをするうちに突如巨大な行間が出現することになる。(実体験)

この本に載っている証明は、正しいけど「何故思いついたのかわからない」ことが多い気がする。これも僕が凡人だからであろう。

加藤和也&斎藤毅&黒川信重「数論〈1〉Fermatの夢と類体論」

数論セミナーで使用していた本。マゾ向き。

VIII-b 代数幾何

上野健爾「代数幾何」が和書だと有名。あと、Qing Liu「Algebraic Geometry and Arithmetic Curves」(数論幾何寄り)、David Mumford「The Red Book of Varieties and Schemes」が良いという話を聞いた。複素代数幾何ならPhillip Griffiths&Joseph Harris「Principles of Algebraic Geometry」が有名。グリハリと呼ばれている。 スキーム抜きの入門書としてWilliam Fulton「Algebraic Curves」を読んでいる人をよく見かける。

Urlich Görts&Torsten Wedhorn「Algebraic Geometry:Schemes with Examples and Exercises」

2010年出版の新しい本である。とても分厚い。このページに正誤表へのリンクがある。付録に可換環論と圏論の予備知識が結果だけまとめられているなど丁寧に書かれている印象がある。わかりやすくて良い。スキームのコホモロジーは第2巻で扱うと予告されているが、第2巻はまだ出ていない。この本を読んでいる人はあんまりいないので、Stacks Exchangeなどで調べるのが難しいという欠点がある。

R.ハーツホーン「代数幾何学1」

有名かつ定番の教科書。Görts Wedhornと相互参照しようと思っている。

授業の記録

幾何I (2018前期・浅岡正幸)

演習問題とその解答例。*付きの問題はテストに出ないらしい。浅岡先生のホームページには、過去問や講義ノートがある。

浅岡先生はとても良い先生だが、唯一多様体Mの次元をn、多様体Nの次元をmと書く癖だけが解せない。pdfにして上げようと思いついたのが遅かったため、中途半端ですいません。

微分方程式論 (坂上貴之)

2年分の試験過去問。解答はついてたりついてなかったり、かなり気まぐれ。

数学系登録試験過去問

数学教室の事務で頼むと見せてもらえる。写真をとるのはダメだが書き写すのはよいという規則である。なんのためにある規則なのかわからないが、これはその規則に従って写したものに、ついでに解答例を付けたもの。

(おわび)2017年の問1(1)の解答例が間違っていたので修正しました。(2018/3/4)

数学・数理解析専攻大学院入試

過去問はここで入手できる。解答例と元問題のPDF。僕ひとりではほんの少ししか解けないので、ぜひ協力してください。

2018年(平成30年)

数学メモ

ふだん数学をやっていて、疑問に思ったことなどをまとめていきたい。 コンパクト台連続関数の話は未完。近日加筆予定。

半直積

正直、ここに書いたような半直積の基本的な性質は代数学IIで教えておくべきだと思う。

コンパクト台連続関数

同じ集合に複数通りの「自然な」位相が入るという頭の痛くなる現象について。


添付ファイル: fileWeilソース.txt 10件 [詳細] fileWeil「Basic Number Theory」のノート.pdf 18件 [詳細] fileコンパクト台連続関数ソース.txt 8件 [詳細] fileコンパクト台連続関数.pdf 245件 [詳細] file半直積ソース.txt 15件 [詳細] file半直積とGalois群.pdf 82件 [詳細] file微分方程式過去問ソース.txt 4件 [詳細] file微分方程式過去問.pdf 32件 [詳細] file幾何I演習問題ソース.txt 16件 [詳細] file幾何I演習問題.pdf 388件 [詳細] file数学系登録試験ソース.txt 15件 [詳細] file数学系登録試験.pdf 49件 [詳細] file2018専門ソース.txt 16件 [詳細] file2018専門.pdf 103件 [詳細] fileHatcherソース.txt 23件 [詳細] fileHatcher「Algebraic Topology」のノート.pdf 51件 [詳細] fileFulton Harrisソース.txt 17件 [詳細] fileFulton Harris「Representation Theory」のノート.pdf 28件 [詳細] fileOsborneソース.txt 20件 [詳細] fileOsborne「Basic Homological Algebra」のノート.pdf 27件 [詳細] fileValenza Ramakrishnanソース.txt 32件 [詳細] file「Fourier Analysis on Number Fields」のノート.pdf 43件 [詳細] fileGortz Wedhornソース.txt 33件 [詳細] fileGortz Wedhorn「Algebraic Geometry」のノート.pdf 55件 [詳細] file雪江「代数学3」のノート.pdf 101件 [詳細]

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Last-modified: 2018-08-13 (月) 15:01:10 (2d)