2016/自主ゼミ

黒田関数解析ゼミ

概要

代表者
松田
形式
発表形式
日程
'16後期 水5, 春休み 水2, '17前期 木5, 夏休み 水2, '17後期 木5, 春休み 木2
教室
'16後 s6-207, 春休み s6-402, '17前 s2-2, 夏休み ラーコモ, '17後 s6-207, 春休み ラーコモ
参加人数
5人か4人か
備考
伊藤ルベーグ積分ゼミに引き続いて

予定・報告

  • 第1話 2016/12/14(水) 1.2 Banach空間
  • 第2話 12/21(水) 1.2-1.3 Hilbert空間
  • 第3話 12/28(水) 1.3 Hilbert空間
  • 第4話 2017/01/11(水) 1.4 部分空間
  • 第5話 02/08(水) 1.5 有限次元ノルム空間
  • 第6話 02/15(水) 1.6 線形作用素
  • 第7話 03/01(水) 2.1-2.2 B^m(Ω)の完備性
  • 第8話 03/08(水) 2.3-2.5拡張 測度空間Ω上のL^p(Ω)の定義,完備性
  • 第9話 03/15(水) 2.4拡張 局所cpt空間上のRadon(局所有限内部正則)測度に対するC_cのL^1における稠密性
  • 第10話 03/22(水) 2.4拡張 p<∞,σ有限+↑の下でのC_cのL^pにおける稠密性,局所cpt群上の左不変σ有限Radon測度に対する平行移動のL^p連続性
  • 第11話 03/29(水) 3.1-3.2 射影定理
  • 第12話 04/05(水) 3.2 射影作用素 3.3 正規直交系 <非可算和をnetで定めればParsevalの等式が非可分でも成立> 3.4 Schmidtの直交化
  • 第13話 04/20(木) 3.4 完全正規直交系 6.1 L^p導関数
  • 第14話 04/27(木) 6.2 軟化作用素<実Lie群上でC^∞積分核が存在し、軟化作用素も存在>
  • 第15話 05/11(木) 6.3 L^p導関数とSobolev空間W^mpとの定義
  • 第16話 05/18(木) 6.3 具体例 6.4 L^p導関数のLeibniz則
  • 第17話 05/25(木) 6.4 W^mpの部分空間
  • 第18話 06/01(木) 6.4 1次元の場合の例, C^mpのW^mpにおける稠密性
  • 第19話 06/08(木) 6.5 Sobolev空間H^s,R^d上でのSobolev埋蔵定理
  • 第20話 06/15(木) 6.6 Poincare不等式,有界領域Ω⊆R^d上のDirichlet問題の弱解の一意性
  • 第21話 06/22(木) 6.6 有界領域Ω⊆R^d上のDirichlet問題の弱解の存在性
  • 第22話 06/29(木) 6.6拡張 有界領域Ω⊆R^d上のDirichlet問題の内部正則性 7.1 有界線型作用素の例
  • 第23話 07/06(木) 7.1 有界線形作用素とその収束
  • 第24話 07/13(木) 7.2 一般の線形作用素 7.3 線形作用素の例:微分作用素
  • 第25話 08/02(水) 7.3 線形作用素の例:微分作用素,積分作用素<一般の測度空間上に拡張可能>
  • 第26話 08/19(土) 7.3 線形作用素の例:掛け算作用素,実例 7.4 閉作用素
  • 第27話 08/23(水) 7.5 Baireのcategory定理,一様有界性原理(Banach-Steinhausの定理) 7.6 開写像原理,閉graph定理
  • 第28話 08/30(水) 8.1 Rieszの表現定理, l^p*≅l^q for p∈[1,∞) <任意の添字集合上のl^p=L^p(#)で成立. さらにノルム空間に値をとるl^pでも成立>
  • 第29話 10/05(木) 8.1 (L^2,s)*の表現, 有界準双線形形式の表現定理 8.2 Hahn-Banachの拡張定理(実)
  • 第30話 10/12(木) 8.2 Hahn-Banachの拡張定理(複素) 8.3 Hahn-Banachの拡張定理の応用 8.3 有界作用素の随伴
  • 第31話 10/19(木) 8.3 有界作用素の随伴の例 8.4 第二共役空間, 反射性
  • 第32話 10/26(木) 8.5拡張 σ(X,Y) Hausdorff性(⇔Xについて非退化),位相の強弱(σ(X,Y)⊆σ(X,Y**),有界ならσ(X,Y)⊆norm位相)
  • 第33話 11/02(木) 8.5拡張 σ(X,Y) 有界性の遺伝,準完備性(有界Cauchy netは収束する.しかし非有界Cauchy netには一様有界性原理が使えず,無限次元なら一般に完備ではない)
  • 第34話 11/09(木) 8.5拡張 閉単位球の点列compact性,Banach-Alaogluの定理(第一可算でないとcompact⇒点列compactが言えないことに注意)
  • 第35話 11/16(木) 8.5拡張 弱作用素位相σ(B(X,Y),X⊗Y*) (Y反射的ならAlaogluの定理よりB(X,Y)の閉単位球はWOTでcompact), tensor積のnorm
  • 第36話 11/30(木) 8.6 共役作用素の基本性質
  • 第37話 12/07(木) 8.6 第二共役作用素, Hilbert空間における共役作用素
  • 第38話 12/14(木) 8.7 共役作用素の例(掛け算作用素,積分作用素)
  • 第39話 12/21(木) 8.7 共役作用素の例(微分作用素)
  • 第40話 01/11(木) 9.1拡張 resolvent,spectrum, Banach空間値関数の正則性と解析性の同値性
  • 第41話 01/18(木) 9.2 resolventの正則性, resolvent方程式, 擬resolvent
  • 第42話 02/08(木) 9.3 spectrumの具体例, おまけ:可換環のspectrumと作用素のspectrumとの関係
  • 第43話 02/15(木) 10.2 区間上のBanach空間値関数の連続性,微分,Riemann積分
  • 第44話 02/23(木) 10.3 作用素半群と生成作用素, 平行移動作用素
  • 第45話 03/01(木) 10.4 生成作用素のresolvent, 単位的Banach代数上の指数写像
  • 第46話 03/08(木) 10.4 Hille-吉田の定理
  • 第47話 03/15(木) 11.1 部分空間と直和分解 10.5 縮小半群としての熱方程式の解
  • 第48話 03/22(木) 10.5 Δの熱方程式の生成作用素たること
  • 第49話 03/29(木) 11.2 compact作用素の基本性質, 有限次元作用素のtensor表現
  • 第50話 04/05(木) 11.3 I-Kの性質 11.4 Fredholm作用素の特徴付け
  • 第51話 04/09(月) 11.5 安定性定理 11.6 compact作用素のspectrum <closed range theorem>
  • 第52話 04/16(月) 11.7 compact作用素の例: 積分作用素,埋め込み作用素
  • 第53話 04/23(月) 11.7 compact作用素の例: 埋め込み作用素 11.8 compact作用素のスペクトル分解
  • 第54話 05/07(月) 12.1拡張 Lebesgue-Stieltjes積分
  • 第55話 05/14(月) 12.2拡張 Rieszの定理(局所compact空間Xに対しM(X)≅C_0(X)*)
  • 第56話 05/21(月) 12.2拡張 区間I上のRieszの定理(NBV(I)≅M(I)≅C_0(I)*), 局所compact Polish空間Xに対するC_0(X)の可分性
  • 第57話 05/28(月) 12.3 射影作用素, 単位の分解 12.3拡張 射影値測度, 測度値内積
  • 第58話 06/04(月) 12.3拡張 単位の分解,射影値測度,測度値内積の1対1対応
  • 第59話 06/11(月) 12.3拡張 射影値測度 と pb-SOT点列連続な*準同型:B(X)→B(H) との1対1対応
  • 第60話 06/18(月) 12.4 自己共役作用素
  • 第61話 06/25(月) 12.5

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  • 2016/1-2月分は朧気な記憶に基づいて書いたので目安
  • Fourier変換は解析Ⅱでやったという声が聞こえたから、4,5章はジャンプして6章に顔を突っ込むのよ。
  • 違うよ、早く作用素がしたいんだよ。
  • <>内は証明できたがゼミ発表時に証明はしていないfacts
    • "Generalized 黒田" 出版予定日: 任意の可換Hausdorff位相群上の収束級数が高々可算個しか零でない項を持たないことが証明される日(なお来ない.反例を挙げよ)

文献 / 関連項目

  • 黒田成俊「関数解析」(共立出版)

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Last-modified: 2018-06-04 (月) 18:42:52 (113d)