2011-05-16 の kagakuma の例会講義の板書ノートを、講義中にリアルタイムで TeX 打ちしたものです。なお内容の正確さ等について私(t_uda)は一切責任を持ちません。
\documentclass[a4j,twocolumn]{jarticle} \usepackage{amssymb} \usepackage{theorem} \usepackage{proof} \title{物理屋必見微分こーざ} \author{Tomoki UDA} \date{\today} \theoremstyle{break} \newtheorem{theorem}{Th}[section] \newtheorem{corollary}{Cor}[theorem] \newtheorem{definition}[theorem]{Def} \newtheorem{proposition}[theorem]{Prop} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lem} \newtheorem{example}{Ex.} \newtheorem{proof}{<proof>} \newtheorem{remark}{Remark} \newtheorem{notation}{Notation} \newtheorem{fact}{Fact.} \renewcommand{\theproof}{} \renewcommand{\theremark}{} \renewcommand{\thenotation}{} \renewcommand{\thefact}{} \setcounter{section}{-1} \begin{document} \maketitle \begin{description} \item[注意:] この文書は S2S 例会講義 20110516 において、松本(kagakuma)君が行った講義の板書を、 私(t\_uda)がその場でとったノートです(つまり私のレジュメではありません)。 従って、私(t\_uda)は内容の正確さ等について一切責任を持ちません。 \end{description} \section{偏微分} \setcounter{theorem}{-1} \begin{definition}[1変数関数の微分] \begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*} が存在して唯一のとき、この値を $x = x_0$ での微分係数と言う。 \end{definition} \begin{notation} この値を、$f'(x_0)$, $f'(x)|_{x=x_0}$, $\frac{df}{dx}(x_0)$, $\frac{df}{dx}(x)|_{x=x_0}$ などと書く。 \end{notation} では $2$ 変数以上ではどのようにすればよいか? $2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ は、どの方向で微分すればよいかが重要になる。例えば、この曲面 $z=f(x,y)$ の場合は、「 $x$ 方向には下がっている」「 $y$ 方向には下がっている」など。このように、多変数のときは方向を決める必要がある。 $x$ 方向に微分することを考えよう。 $2$ 変数 $f(x,y)$ の場合は、$y = y_0$ に固定して考える。このようにすると、実質 $x$ の $1$ 変数のみの関数になる。そこで、 $x$ 方向の微分を次のように定義する。 \begin{definition}[x による偏微分] \begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h} \end{eqnarray*} が存在するとき、これを $f$ の $x$ による偏微分という。 \end{definition} 同様に、 $y$ 方向の微分も次のように定めることができる。 \begin{definition}[y による偏微分] \begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} \end{eqnarray*} が存在するとき、これを $f$ の $y$ による偏微分という。 \end{definition} では、$x$ 方向や $y$ 方向以外の間の方向はどうすればよいだろうか? \begin{example} \begin{eqnarray*} f(x,y) := x^3 - 3xy^2 \\ \end{eqnarray*} とするとき $f$ の偏微分はそれぞれ、次のようになる: \begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & 3x^2 - 3y^2 \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & -6xy \end{eqnarray*} \end{example} \section{全微分} \setcounter{theorem}{-1} $f(x,y)$ は十分滑らかとする。つまり、函数を考えるときは十分な微分可能性を仮定する(「微分したい!」と思ったら微分できる)。例えば、$2$ 次曲面を考えるとき、その"坂"のきつさは連続的に変化していると仮定する。 $x$ 方向への微小変化 $dx$, $y$ 方向への微小変化 $dy$ というものを考える。このとき、点の充分近くは"平面で近似できるハズ"という考え方で、次の全微分形式を導入する。 \begin{definition}[全微分形式] \begin{eqnarray*} df = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} dy \end{eqnarray*} を $f$ の全微分形式と呼ぶ。 \end{definition} \begin{remark} 全微分形式は"いまいる点から $(dx,dy)$ だけ動いた時、$f$ は $df$ だけ変化した"というのを表している。 \end{remark} \section{方向微分} \setcounter{theorem}{-1} \begin{definition}[微分作用素ナブラ] \begin{eqnarray*} \nabla := \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array} \right) \end{eqnarray*} \end{definition} さて、微小変位を表す、次の記号を導入しておく。 \begin{eqnarray*} d\mathbf{x} := \left( \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right) \end{eqnarray*} すると、微分作用素 $\nabla$ を用いて、$f$ の全微分形式を次のように表せる。 \begin{eqnarray*} {\nabla f} & = & \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{array} \right) \\ {\nabla f} \cdot d\mathbf{x} & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{eqnarray*} \begin{definition}[方向微分] $\mathbf{l}$ を、$||\mathbf{l}|| = 1$ を満たすベクトルとする。この時、 \begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} & := & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{l}) - f(\mathbf{x})}{h} \\ & = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h l_x, y + h l_y) - f(x, y)}{h} \\ & = & l_x\frac{\partial f}{\partial x} + l_y \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*} \end{definition} \end{document}