![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
顔合わせ及び今後の打ち合わせ。集合について軽いおさらい。 ゼミは p32 二項関係 からに決定。
p32 から p41 まで。二項関係、順序関係、整列集合について。超限順序数の話も。
p41 から p48 まで。選択公理、Zornの補題、整列可能定理の同値性について。Zornの補題の用例として極大idealの存在を証明。
p50 から p59 まで。Euclid空間と一般の距離空間について。離散的な集合で境界が定義できない気がして困ったが単に空集合だった。
p59 から p63 まで。距離空間の諸々について。位相からの定義との差異に注意。
p63 から p69 まで。距離空間上の連続写像についてと位相空間の導入。島地団長が様子見に来られた。 次回は8/1(土)で、人がいなくなるので8月はそれだけになりそう。
p69 から p75 まで。開核･閉包作用子や近傍系と位相との対応について。位相にも色々な定め方があった。
p75 から p82 まで。位相空間上の連続写像や開基･準開基について。任意の部分集合族を準開基として位相が生成される。∩{}=XなるのはXが∩の単位元だからだという解釈。
p82 から p86 まで。可算公理や点列連続性について。稠密の特徴付け∀U∈O A∩U≠{}を得られた。点列連続は連続より弱かった。
p86 から p95 まで。有向点列の収束と連続性との同値性や積位相について。可算個の列で駄目なら非可算個の列を考えれば連続性と同値にできる。
p95 から p96 まで。箱型積位相や、積空間の開核･閉包について。箱型積位相でないと開核と直積は可換にならないよ。
p96 から p103 まで。商空間と分離公理について。主張を図形的にイメージできれば難しい事ではない。
p103 から p105 まで。Урысон(ウリゾーン)の補題について。正規空間で互いに交わらない空ならぬ2閉集合を関数で分離できた。
p105 から p106 まで。Урысонの距離化定理について。第2可算な正規Hausdorff空間が距離化された。
p106 から p108 まで。compact性について。有限部分被覆を選び出す作業。
p108 から p112 まで。Heine-Borelやcompact Hausdorff空間について。compactは位相的性質である。
p112 から p115 まで。Lebesgue数と積空間のcompact性について。有限開被覆があればLebesgue数がとれるのだ。
p115 から p115 まで。問23.1とR^nのcompact集合について。compact集合の直積を包み、それを包む開集合に包まれる開集合の直積が取れなくて詰んだ。
p115 から p117 まで。有限交叉性とТихонов(チコノフ)の定理について。問23.1は棒による被覆で解決した。filterさんが導入されたが使途不明である。
p117 から p119 まで。Тихоновの定理について。Тихоновの定理と選択公理は同値であった。
p120 から p123 まで。Cantor集合と局所compactについて。局所hoge⇔任意の点に対しhoge近傍が存在し、基本近傍系を成す。
p123 から p128 まで。一点compact化と連結性について。連結性の{0,1}への射による特徴付けの使い勝手の良さを噛みしめる。
p129 から p136 まで。連結,局所連結,弧状連結について。中間値の定理は連結性に由来する。春休み中は月木午前に。
p136 から p143 まで。連結だが非弧状連結な例と距離空間の完備性について。[0,1]上の連続関数全体に完備でない距離が入り、完備化すると区分的に連続な関数全体になりそうだった。
p143 から p149 まで。縮小写像の原理と距離空間のcompact性について。稠密な開集合の非可算個の共通部分はさすがに稠密ではなかった。
p149 から p158 まで。距離空間の完備化と一様収束位相について。p進距離の完備化のイメージが欲しかったり。一様収束位相におけるCauchy列は一様収束列である。
p158 から p165 まで。Ascoli-ArzelaやStone-Weierstrassについて。同程度連続の量化記号の多さと何が近似定理なのか明記しないスタイル。
p166 から p まで。Tietzeの拡張定理とcompact開位相について。
p から p まで。
内田伏一「集合と位相」
