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連絡先

添付PDFの間違い等あればTwitterで連絡してください、といままで書いてたんだけどTwitterに常駐してないからメールのほうがいいかも。メールは48aです。 (追記:PDFに自分の名前くらい書いておかないと本人が書いたものだと思われる恐れがあると指摘を受けました。すみません…そのうち直します)

本について

ここに書いてあることは僕の独断と偏見にまみれているので、このwikiのほかの人の文章(今村明石リサージュ西田ちゃんどら島地Yoshinoあらたけ)(敬称略)やまれいんさんのブログなども参考にしてください。 京大はSpringer社と契約を結んでいるので、学内ネットを使えばSpringer社の本は無料でダウンロードできる。欲しい本がある場合、図書室に購入希望を出すと意外に叶えてもらえることが多い。

凡例

見出しについてるローマ数字はだいたいの読む順番を表しているつもり。予備知識がたくさん要るものほどローマ数字が大きくなるようになっているはず。具体的には、ローマ数字nの本は1~n-1までの本を全部読んでいることがなんとかその本を読むことができるための十分条件になっている、はず。(必要条件とは言ってない)アルファベットは、予備知識の量がだいたい同じ異なる分野を区別するためにつけた。見出しに名前が挙がっているものは僕が多少とも読んだり参照したりしたもの。(通読したとは言ってない)他は、先生や直接の知り合いに良いという評判を聞いたもの。ただしまた聞きを含む。

I 微積分・線形代数

斎藤正彦「線型代数学」東京図書  

高木貞治「解析概論」にいきなり挑戦して玉砕した人は多いのではないか。名著ということと、初学者向きということは全く別のことである。これはわかりやすくておもしろいので挫折しにくい。ただ重積分の変数変換公式を厳密に証明していないし、ベクトル解析の説明が雑すぎるのであくまで初学者向け。

斎藤正彦「線型代数学」東京図書

行間もなく具体的に書いてある良い本。こういう1回生の最初に読む本は、とにかく挫折しにくいことが大事だと思う。

ラング「線形代数学」ちくま学芸文庫

文庫サイズなので読みにくい。群や環が出てくるが、説明が雑なので初学者向きでない。 でもこの本を読んでいたことがのちにFulton Harrisを読むときに役に立った。外積代数などの説明がある本を読んでおくのはよいこと。

II 位相空間論

内田と、松坂和夫「集合・位相入門」が二大入門書。新しいのでは斎藤毅「集合と位相」が良書と聞く。松坂のほうは集合論の記述が充実していて、斎藤のほうは圏論的に書かれているということである。

内田伏一「集合と位相」

丁寧に書かれた良い本。位相空間は幾何・解析・代数のどの分野でも頻繁に登場するため、位相の勉強は早めにしたほうがよい。

III-a 群論

雪江明彦「代数学1 群論入門」

群論の定番教科書。初学者でも挫折しにくい。この本に限らず雪江先生の本は行間がないという特徴があり、読むと幸せになれる。well-definedの説明がしっかりしてあるのは素晴らしい。唯一、冒頭に「自然な対象とは関手を使って定義される対象である」とよくわからないことが書いてあるのには文句を言いたい。圏論を知らない人が誤解するかもしれないし、一応注意しておく。正誤表が著者のホームページにある。雪江先生の本で何かわからないところがあったら、直接メールで訊けば親切に教えてもらえる。

近藤武「群論」

初学者向きではないが、面白いことがいっぱい書いてあり、よく参照する。

III-b 複素解析

野口潤次朗「複素解析概論」はアールフォルスの下位互換という印象。笠原乾吉「複素解析」(ちくま学芸文庫)が良いという話を聞いた。あと読んでいる人が多いのはエリアス・スタイン&ラミ・シャカルチ「複素解析」。

チャーチル&ブラウン「複素関数入門」

初学者向けの本。話題を絞って丁寧に解説している。比較的すぐ読み通せて、複素解析の概要をつかむことができる。初めにこれを読み、そのあとより詳しい本を読むと挫折しにくい。

L.V.アールフォルス「複素解析」

分厚くてさぞ内容が多そうな見た目だが、実は位相の説明に序盤のかなりの紙数を割いているため実質的な内容はそう多くない。説明が丁寧とは言えないが、本質を突いたことが 簡潔に書かれている。解析接続のところでなにやら難しいことが書かれていて面食らったが、普通は一致の定理が理解できていれば十分であると聞いて安心した記憶がある。

IV 圏論

下の2冊以外には中岡宏行「圏論の技法」とかスティーブ・アウディ「圏論」の名前をよく聞く。「圏論の技法」を圏論を勉強する1冊目にはしない方がいい。 位相空間論と同じく、圏論もあらゆる分野で基礎となる重要な理論であり、なるべくはやく学んでおいた方がいい……と思ったのでローマ数字はかなり小さめにした。

T.レンスター「ベーシック圏論」

Tom Leinster「Basic Category Theory」の日本語訳。略してべしけん。訳者が演習問題に解答をつけてくださっているので、この本は原書より日本語訳がオススメ。現在、圏論の入門書の決定版だとおもう。どうでもいいことだが、実は98ページに望月先生の宇宙際タイヒミュラー理論について言及がある。

S.マックレーン「圏論の基礎」

この分野の古典。べしけんには無い、エンドやKan拡張の話がある。

Emily Riehl「Category Theory in Context」

1回生のときセミナーで使用した本。ネットにただで落ちている。

V-a Noether環論・Galois理論

Noeter環論というのは可換環論と区別するために引っ張り出してきた分野名。UFDとかPIDとか整域がどうとかいう話のこと。UFDはNoetherとは限らないので間違っているのだが、この辺ではNoetherでない環はあんまり扱わないのでまあ大目に見てください。

雪江明彦「代数学2 環と体とガロア理論」

Galois理論の定番教科書。初学者の最初の一冊として良い。多項式のガロア群の決定が載っている。具体的な計算を目標にすることが多いのも雪江先生の本の特徴である。

V-b 測度論

伊藤清三「ルベーグ積分入門」

測度論を勉強するには定番の本であり、実際良い本だと思う。解析学Iの授業ではDynkin族定理という定理を使っていて大変わかりやすかったが、この本にはDynkin族定理は載っていない。そこは残念だが、僕はそれが載っている本を知らない。確率論系の本に載っているらしい。Lebesgue積分が存在することを最初に示しているが、退屈なら飛ばしても問題はない。後半の関数解析の話は黒田関数解析で読んだ方がいい。

V-c 多様体論

位相空間論は空気のように使う。実解析もよく引用される。

Riemann面ならOtto Forster「Lectures on Riemann Surfaces」がとてもわかりやすくて良いらしい。

松本幸夫「多様体の基礎」

人呼んでライトノベル。説明は丁寧で行間もないのだが、内容が少ないので何か別の本の副読本向き。主の本を読んでいて困ったら参照するくらいに。

Loring W. Tu「An Introduction to Manifolds」

松本より叙述が簡潔で、おなじくらいの厚さなのに内容はずっと多い。松本の内容の他にLie群・Lie代数や商空間、DeRham?理論など。実解析や位相空間論の予備知識を付録にまとめてくれているのが嬉しい。良書。

Torsten Wedhorn「Manifolds,Sheaves,and Cohomology」

「圏の言葉で書かれないと判ったような気がしない」圏論依存症に陥ってしまった人向け。多様体論を層の言葉で展開している珍しい本。

V-d 代数的トポロジー

田村一郎「トポロジー」を勧められることが多い。

Allen Hatcher「Algebraic Topology」

浅岡正幸先生のおすすめと聞いた。すごく分厚い。絵や例がたくさん載っている。直感的な説明をし尽くしてから理論を語るという書き方で、くどいくらいたくさん説明してくれる。基本群を語る前に、まず投げ縄の話を…という調子。正誤表が著者のホームページで手に入る。本全体も同じ著者のページからダウンロードできる。演習問題がしこたま載っているが、答えやヒントは全くない。答えが欲しい人はこのページに誰かが作った答があるのでダウンロードしておこう。ただこの本、冗長なほどイメージを語るくせして証明が非常にザツ。もうどこもかしこも行間だらけ。おまけに用語の定義までフィーリングで書いてあるので、語によってはほかの文献ではどういう定義になっているか調べる必要がある。要はひどい本である。でも代数的トポロジーの本で例や直感的イメージの説明がこれほど多い本は稀なので、読む価値があると思う。 行間以外では、圏論的な解釈があまり書かれていないという不満がある。

J.P.May「A Concise Course in Algebraic Topology」

圏論の言葉で書いてあるので、圏論をある程度やっていないとかなりきついと思う。でも 圏論を知っていればむしろわかりやすい。

加藤十吉「位相幾何学」

ミツヨシと読む。ジュッキチではない。加藤毅先生のおすすめだが、僕には難しすぎた。途中で挫折。この本で理解できる人は幾何学の素養が既にある人だと思う。僕は代数トポロジーの勉強を始めたばかりのころ、良い本を探して人におすすめの本を訊いてまわったり、図書館を物色したり、できる限りのことをしたが、結局直感的イメージの詳細な説明がある本はHatcherしか見つけられなかった。Hatcherの項でさんざん悪口をいいつつも「読む価値がある」とツンデレ気味なのはそういう事情による。

服部晶夫「位相幾何学」

Hatcherを読んでいて、相互参照の必要が生じたときに見ていた本。通読するのはしんどいらしい。

V-e 初等整数論

雪江明彦「整数論1 初等整数論からp進数へ」

平方剰余の相互法則とかp進体の話。第2巻に備えてGalois理論の説明がある。

VI-a 可換環論

渡部敬一&後藤四朗「可換環論」は二人の著者のチームワークがなってないという話を聞いた。

雪江明彦「代数学3 代数学のひろがり」

可換環論とホモロジー代数と表現論とそのほかいろいろの話。代数幾何や複素解析の例を引いた動機の説明が充実しているが、これも雪江先生の本の特(ry。ただ内容が足りないので、この本だけでなく松村英之「可換環論」や「Atiyah MacDonald?可換代数入門 」(いわゆるアティマク) 等も読んだ方がいい。

(おわび:バカでした。修正しました。指摘してくれた人、ありがとうございます。(2018/4/18))

山崎圭次郎「環と加群」

初学者は避けた方がいいが、たまに参照するために引っ張り出す。

VI-b 関数解析

Fourier解析のところは複素解析の知識が必要なほか、Lebesgue積分を使わないと完備性が示せないので測度論は必須。偏微分方程式論などに応用がある。

黒田成俊「関数解析」共立出版 

説明が丁寧な上に広範な話題を解説してくれる良い本。上級者向けの本と紹介されることがあるが、行間はないので初学者でも読める。ただし超関数の一般論は扱っていないので、解析学の授業の副読本にするときは注意が必要。

A.Ya.Helemskii「Lectures and Exercises on Functional Analysis」

ロシア語から英語への翻訳。言われて見ればなんとなくロシアっぽい。関数解析を圏論的に展開している本。Met圏では非可算集合で添え字づけられたproductは存在しないとか、fが像への同相写像であることとextreme mono射であることが同値だとか、そういう話が載っている。作用素の定義域という概念がこの本にはないことに注意。

なおこの著者、かなりの行間スキーで煽りスキーである。そこにも注意。

藤田宏 吉田耕作「現代解析入門」

超関数について予習するために参照した本。

藤田宏 黒田成俊 伊藤清三「関数解析」

関数解析続論のノートを解読するために参照した本。

VI-c 代数的整数論

雪江明彦「整数論2 代数的整数論の基礎」

Dedekind環論、分岐・不分岐と円分体論。整数環の基底決定と類数計算をみっちりやっているのが特徴だと思う。テンソル積が八面六臂の大活躍を見せる。

VII-a ホモロジー代数

雪江先生はHenri Cartan & Samuel Eilenberg「Homological Algebra」がオススメらしい。Joseph Rotman「An Introduction to Homological Algebra」が良いという話を最近聞いた。

M.Scott Osborne「Basic Homological Algebra」

非常に説明が丁寧で、行間が存在しない。立体的な図式が出てくるなど説明するのが面倒なところにさしかかっても今まで通りじっくり丁寧に説明してくれる姿はけだし数学書の鑑である。例が豊富とは言えないが、日本語のホモロジー代数の本はどれも行間がたくさんあるので、こういう本は貴重。抽象的で動機がつかみにくい話が多いのは否めないので、初学者向きかも。

VII-b 表現論

リー群の表現論についてはAnthony W. Knapp「Lie Groups Beyond an Introduction」がとても判りやすくて良いという話を聞いた。あとBrian Hall「Lie Groups, Lie Algebras, and Representations」が雪江先生のおすすめ。

William Fulton & Joe Harris「Representation Theory A First Course」

とても分厚い。表現としてisomorphicであることの定義がはっきり書かれていないことに注意。雪江明彦先生のおすすめ。

小林俊行&大島利雄「リー群と表現論」

とても良い本という評判なので読んでみたい。関数解析の知識を前提にしている。有限群の表現論は知らなくてもたぶん問題ない。証明抜きに紹介されている事実をすべて示そうとしなければ、行間はないといってもいいかも。

J.P.Serre「Linear Representations of Finite Groups」

Fulton Harrisと違ってとても薄い。G-linear mapにあたる用語が定義されていないのと、指標の直交性を示すのに表現行列を使うというかっこ良くない方法をとっているのが気になる。

VII-c 解析的整数論

雪江明彦「整数論3 解析的整数論への誘い」

ζ関数の話など。リンデマンの定理の証明が載っている。

VIII-a 類体論

類体論はJ.P.Serre「Local Fields」か、Andre Weil「Basic Number Theory」のほぼ2択。Serge Lang「Algebraic Number Theory」は初学者向きでないという話を聞いた。足立恒雄&三宅 克哉「類体論講義」という選択肢もあるにはあるが、どうも食指が動かない。 整数論にはほかに楕円曲線論という分野もある。雪江先生にはJoseph H.Silverman「The Arithmetic of Elliptic Curves」を薦められた。いわゆるAECである。日本語の「楕円曲線論入門」は「Rational Points on Elliptic Curves」の翻訳であり、まったくの別物であることに注意。保型形式論という分野もあり、院生の人に訊くとFred Diamond&Jerry Shurman「A First Course in Modular Forms」を薦められた。p-進数については、雪江整数より詳しいものとしてFernando Quadros Gouvea「p-adic Numbers An Introduction」が良いという話を聞いた。

Dinakar Ramakrishnan&Robert J.Valenza「Fourier Analysis on Number Fields」

Haar測度について勉強するために読んでいる本。とても丁寧に書いてあるが、著者が当たり前だと思っていることを知らないせいで僕はよく混乱する…。

Andre Weil「Basic Number Theory」

数論セミナーで使用する予定の本。冒頭からHaar測度が出てくるから、定義と一意存在定理くらいは調べておく必要がある。

加藤和也&斎藤毅&黒川信重「数論〈1〉Fermatの夢と類体論」

数論セミナーで使用していた本。マゾ向き。

VIII-b 代数幾何

当然の予備知識として圏論を使う本もあるので、圏論は必須。また高度な可換環論の知識が要求される。ホモロジーも要るようだ。

上野健爾「代数幾何」は証明が間違っている箇所があるらしい(未確認)。あと、Qing Liu「Algebraic Geometry and Arithmetic Curves」(数論幾何寄り)、David Mumford「The Red Book of Varieties and Schemes」が良いという話を聞いた。複素代数幾何ならPhillip Griffiths&Joseph Harris「Principles of Algebraic Geometry」が有名。グリハリと呼ばれている。 スキーム抜きの入門書としてWilliam Fulton「Algebraic Curves」を読んでいる人をよく見かける。

Urlich Görts&Torsten Wedhorn「Algebraic Geometry:Schemes with Examples and Exercises」

2010年出版の新しい本である。とても分厚い。行間と言うほどの行間もなく、付録に可換環論と圏論の予備知識が結果だけまとめられているなど丁寧に書かれている印象がある。わかりやすくて良い。スキームのコホモロジーは第2巻で扱うと予告されているが、第2巻はまだ出ていない。

R.ハーツホーン「代数幾何学1」

有名かつ定番の教科書。Görts Wedhornと相互参照しようと思っている。

その他

戸田山和久「論理学をつくる」

論理学をつくることを介して論理学を学ぶ、というおもしろい趣向の本。「ならば」の真理値はなぜああなっているのか?とか、述語論理はなんのために考えられたか?といった素朴な疑問に丁寧に答えてくれる。数学の本とは思えないほど文体にユーモアがあって楽しい。「えばんげりおんのあやなみれいをちゅくってえ」には笑った。

小針晛宏「確率・統計入門」

確率論基礎の教科書だった。数学科の人間向けではないだろうが、名著という評判に違わずわかりやすく面白い本。随所にはさまれたギャグも楽しい。この本にある「無作為」という言葉の使い方への注意はあざやかで、一読の価値があるように思う。

ウェブサイトについて

LaTeX関連

TeX Wiki

TeXについての情報が大量に集積されている。TeXとはなんぞやという説明からインストールの仕方、エラーの意味まで、実に詳しく書かれている。

LaTeXコマンド集

Texの例文集。たいへん便利。複雑な図式の書き方はこのサイトにはない。Xy-picを使うといい。他にもLaTeXコマンドシート一覧物理のかぎしっぽなどがある。

Atom

LaTeXの実行に使えるテキストエディタのひとつ。僕ははじめTexworksを使っていたが、人がAtomを使っているのを見てうらやましくなって導入。Texworksと違ってTeX専用のエディタではなく、汎用的。プログラミング支援ソフトでもあるせいか、File名を半角英数字にした上で、texという拡張子をつけないとタイプセットできないことに注意。リアルタイムプレビューをはじめ、いろんなことができる。導入方法についてはこのページを参考にするといいと思う。

日本語LaTeXを使うときに注意するべきこと

論文をLaTeXでうちこむときのしきたりが説明されているページ。

数学関連

Mathematics Stack Exchange

数学専門の知恵袋とでも言うべきサイト。洋書を読んでいて困ったときはまずここを覗いてみることを勧める。同じことで悩んでいる人が見つかればしめたもの。演義の問題をここにつっこんだらいいんじゃ…?というのは誰もが考えると思うが、さすがにそれは慎むべき。行間埋めから良い本探し、反例構成まで、なんにでも重宝する。

系登録試験過去問

数学教室の事務で頼むと見せてもらえる。写真をとるのはダメだが書き写すのはよいという規則である。なんのためにある規則なのかわからないが、これはその規則に従って写したものに、ついでに解答例を付けたもの。

(おわび)2017年の問1(1)の解答例が間違っていたので修正した。(2018/3/4)


添付ファイル: fileGortz Wedhorn「Algebraic Geometry」のノート.pdf 6件 [詳細] fileOsborne「Basic Homological Algebra」のノート.pdf 5件 [詳細] fileHatcher「Algebraic Topology」のノート.pdf 77件 [詳細] file雪江「代数学3」のノート.pdf 11件 [詳細] fileFulton Harris「Representation Theory」のノート.pdf 3件 [詳細] file「Fourier Analysis on Number Fields」のノート.pdf 7件 [詳細] file「リー群と表現論」のノート.pdf 12件 [詳細] file数学系登録試験2016.pdf 100件 [詳細] file数学系登録試験2017.pdf 128件 [詳細]

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Last-modified: 2018-05-28 (月) 00:27:08 (2h)