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[[t_uda/tex]]

* 例会講義 20110516 「物理屋必見微分こーざ(1)」 [#g519473f]

20110516 の [[kagakuma]] の例会講義の板書ノートを、講義中にリアルタイムで TeX 打ちしたものです。なお内容の正確さ等について私（[[t_uda]]）は一切責任を持ちません。
2011-05-16 の [[kagakuma]] の例会講義の板書ノートを、講義中にリアルタイムで TeX 打ちしたものです。なお内容の正確さ等について私（[[t_uda]]）は一切責任を持ちません。

- PDF版
#ref(differential_for_physics.pdf)
-TeXソースファイル
 \documentclass[a4j,twocolumn]{jarticle}
 
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{theorem}
 \usepackage{proof}
 
 \title{物理屋必見微分こーざ}
 \author{Tomoki UDA}
 \date{\today}
 
 \theoremstyle{break}
 \newtheorem{theorem}{Th}[section]
 \newtheorem{corollary}{Cor}[theorem]
 \newtheorem{definition}[theorem]{Def}
 \newtheorem{proposition}[theorem]{Prop}
 \newtheorem{lemma}[theorem]{Lem}
 \newtheorem{example}{Ex.}
 
 \newtheorem{proof}{＜proof＞}
 \newtheorem{remark}{Remark}
 \newtheorem{notation}{Notation}
 \newtheorem{fact}{Fact.}
 \renewcommand{\theproof}{}
 \renewcommand{\theremark}{}
 \renewcommand{\thenotation}{}
 \renewcommand{\thefact}{}
 
 \setcounter{section}{-1}
 \begin{document}
 \maketitle
 
 \begin{description}
     \item[注意:]
         この文書は S2S 例会講義 20110516 において、松本（kagakuma）君が行った講義の板書を、
         私（t\_uda）がその場でとったノートです（つまり私のレジュメではありません）。
         従って、私（t\_uda）は内容の正確さ等について一切責任を持ちません。
 \end{description}
 
 \section{偏微分}
 \setcounter{theorem}{-1}
 
 \begin{definition}[1変数関数の微分]
     \begin{eqnarray*}
         \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
     \end{eqnarray*}
     が存在して唯一のとき、この値を $x = x_0$ での微分係数と言う。
 \end{definition}
 
 \begin{notation}
     この値を、$f'(x_0)$, $f'(x)|_{x=x_0}$, $\frac{df}{dx}(x_0)$, $\frac{df}{dx}(x)|_{x=x_0}$ などと書く。
 \end{notation}
 
 では $2$ 変数以上ではどのようにすればよいか？
 
 $2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ は、どの方向で微分すればよいかが重要になる。例えば、この曲面 $z=f(x,y)$ の場合は、「 $x$ 方向には下がっている」「 $y$ 方向には下がっている」など。このように、多変数のときは方向を決める必要がある。
 
 $x$ 方向に微分することを考えよう。 $2$ 変数 $f(x,y)$ の場合は、$y = y_0$ に固定して考える。このようにすると、実質 $x$ の $1$ 変数のみの関数になる。そこで、 $x$ 方向の微分を次のように定義する。
 
 \begin{definition}[x による偏微分]
     \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}
     \end{eqnarray*}
     が存在するとき、これを $f$ の $x$ による偏微分という。
 \end{definition}
 
 同様に、 $y$ 方向の微分も次のように定めることができる。
 
 \begin{definition}[y による偏微分]
     \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}
     \end{eqnarray*}
     が存在するとき、これを $f$ の $y$ による偏微分という。
 \end{definition}
 
 では、$x$ 方向や $y$ 方向以外の間の方向はどうすればよいだろうか？
 
 \begin{example}
     \begin{eqnarray*}
         f(x,y) := x^3 - 3xy^2 \\
     \end{eqnarray*}
     とするとき $f$ の偏微分はそれぞれ、次のようになる:
     \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & 3x^2 - 3y^2 \\
         \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & -6xy
     \end{eqnarray*}
 \end{example}
 
 \section{全微分}
 \setcounter{theorem}{-1}
 
 $f(x,y)$ は十分滑らかとする。つまり、函数を考えるときは十分な微分可能性を仮定する（「微分したい！」と思ったら微分できる）。例えば、$2$ 次曲面を考えるとき、その"坂"のきつさは連続的に変化していると仮定する。
 
 $x$ 方向への微小変化 $dx$, $y$ 方向への微小変化 $dy$ というものを考える。このとき、点の充分近くは"平面で近似できるハズ"という考え方で、次の全微分形式を導入する。
 
 \begin{definition}[全微分形式]
     \begin{eqnarray*}
         df = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} dy
     \end{eqnarray*}
     を $f$ の全微分形式と呼ぶ。
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
     全微分形式は"いまいる点から $(dx,dy)$ だけ動いた時、$f$ は $df$ だけ変化した"というのを表している。
 \end{remark}
 
 \section{方向微分}
 \setcounter{theorem}{-1}
 
 \begin{definition}[微分作用素ナブラ]
     \begin{eqnarray*}
         \nabla := \left(
             \begin{array}{c}
                 \frac{\partial}{\partial x} \\
                 \frac{\partial}{\partial y}
             \end{array}
         \right)
     \end{eqnarray*}
 \end{definition}
 
 さて、微小変位を表す、次の記号を導入しておく。
 
 \begin{eqnarray*}
     d\mathbf{x} := \left(
         \begin{array}{c}
             dx \\
             dy
         \end{array}
     \right)
 \end{eqnarray*}
 
 すると、微分作用素 $\nabla$ を用いて、$f$ の全微分形式を次のように表せる。
 
 \begin{eqnarray*}
     {\nabla f} & = & \left(
         \begin{array}{c}
             \frac{\partial f}{\partial x} \\
             \frac{\partial f}{\partial y}
         \end{array}
     \right) \\
     {\nabla f} \cdot d\mathbf{x} & = &
         \frac{\partial f}{\partial x} dx +
         \frac{\partial f}{\partial y} dy
 \end{eqnarray*}
 
 \begin{definition}[方向微分]
     $\mathbf{l}$ を、$||\mathbf{l}|| = 1$ を満たすベクトルとする。この時、
     \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}
             & := & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{l}) - f(\mathbf{x})}{h} \\
             &  = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h l_x, y + h l_y) - f(x, y)}{h} \\
             &  = & l_x\frac{\partial f}{\partial x} + l_y \frac{\partial f}{\partial y}
     \end{eqnarray*}
 \end{definition}
 
 \end{document}