$\quad 1+\mathrm{c}_1(E^*)+\mathrm{c}_2(E^*)+\cdots+\mathrm{c}_r(E^*)$
$=\mathrm{det}\left( I-\frac{R_{E^*}}{2\pi i} \right)$
$=\mathrm{det}\left( I-\frac{(-^t\!R)}{2\pi i} \right)$
$=\mathrm{det}^t\!\left( I-\frac{(-R)}{2\pi i} \right)$
$=\mathrm{det}\left( I-\frac{(-R)}{2\pi i} \right)$
$=1-\mathrm{c}_1(E)+\mathrm{c}_2(E)-\cdots+(-1)^r\mathrm{c}_r(E)$